|
MÃ KÍ HIỆU
[*****]
|
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤPHUYỆN
LỚP 9 - Năm học 2023-2024
MÔN: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
( Đề thi gồm 05 bài, 01trang)
|
Bài 1: (2,0 điểm)
1.1 Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức Q
1.2 Cho 
. Tính giá trị của biểu thức 
Bài 2: (2,0 điểm)
2.1. Cho phương trình 
với 
là tham số. Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt 
thoả mãn điều kiện: 
.
2.2 Giải hệ phương trình 
.
Bài 3: (3,0 điểm)
a) Tìm số tự nhiên có 3 chữ số 
thỏa: 
b) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c =1. Chứng minh rằng:
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho 
ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AH của ABC. Gọi P, Q lần lượt là chân đường vuông góc vẽ từ H đến các cạnh AB, AC.
a. Chứng minh rằng tứ giác BCQP nội tiếp.
b. Hai đương thẳng PQ và BC cắt nhau tại M. Chứng minh rằng MH2 = MB.MC
c. Đường thẳng MA cắt thẳng đường (O) tại K (K khác A). Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP. Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng hàng.
Bài 5: (1,0 điểm)
Ở sáu đỉnh của một lục giác lồi có ghi 6 số chẵn liên tiếp theo chiều kim đồng hồ. Ta thay đổi các số như sau: mỗi lần chọn một cạnh bất kỳ rồi cộng với mỗi số ở hai đỉnh cạnh đó với cùng một số nguyên . Hỏi sau các lần thay đổi như thế thì 6 số mới ở đỉnh lục giác có bằng nhau không ? vì sao ?
----------------- HẾT-----------------
|
MÃ KÍ HIỆU
[*****]
|
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
LỚP 9 - Năm học 2023-2024
MÔN: Toán
( Hướng dẫn gồm 05 trang)
|
Chú ý:
- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa
- Điểm bài thi 10 điểm
|
Bài
|
Đáp án
|
Điểm
|
|
1
(2 điểm)
|
1.1 (1,0 điểm)
|
|
Q có nghĩa  và 
* Nếu 1 < x < 2 ta có:
* Nếu x > 2 ta có:
|
0,25
0,25
0,25
0,25
|
|
1.2. (1,0 điểm)
|
|
Ta có 
 = 
Þ
|
0,25
0,25
0,25
0,25
|
|
2
(2 điểm)
|
2.1 (1,0 điểm)
|
|
|
- Phương trình có hai nghiệm phân biệt
   .
-Khi đó theo định lí Vi-et ta có:  (1)
và  (2).
-Điều kiện bài toán
 (do (1))
 (3).
-Từ (1) và (3) ta có:  .
Thay vào (3) ta được:   , thoả mãn điều kiện.
Vậy .
|
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
|
|
2.2 (1,0 điểm)
|
|
|
Ta có:  (1)
Þ (x + y)2 + (x + y) – 12 = 0 Û
TH1: Nếu x + y = -4
Þ (1)  (hệ vô nghiệm)
TH2: Nếu x + y = 3
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 3); (x;y) = (3; 0)
|
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
|
|
3
(2 điểm)
|
3.1 (1,0 điểm)
|
|
|
Ta có: 
Từ (1) và (2) ta có 99(a-c)=4n – 5 
Mặt khác: 
 . Từ (3) và (4) suy ra n = 26.
Vậy  .
|
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
|
|
3.2(1,0 điểm)
|
|
|
Vì a + b + c = 1 nên
Nên BĐT cần chứng minh tương đương với:
Mặt khác dễ thấy: x2 + y2 + z2  xy + yz + zx , với mọi x, y, z. (*)
Áp dụng (*) ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =   Đpcm
|
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
|
|
4
(3 điểm)
|
|
|
|
a.(1 điểm)
|
|
|
a)  = 90o + 90o = 180o
Þ Tứ giác APHQ nội tiếp
Þ  . Mà  (cùng phụ  )
Do đó  Þ Tứ giác BPQC nội tiếp
|
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
|
|
b.(1 điểm)
|
|
|
Ta có: 
Þ 
DMHP ~ DMQH (g.g) Þ  Þ MH2 = MP.MQ
DMPB ~ DMCQ (g.g) Þ  Þ MP.MQ = MB.MC
Þ MH2 = MB.MC (= MP.MQ)
|
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
|
|
c.(1 điểm)
|
|
|
Vẽ đường kính AD của đường tròn (O) Þ  = 90o ,  = 90o
MKH ~ MHA (c.g.c) Þ  =90o
Gọi J là trung điểm của AH. Ta có J là tâm của đường tròn ngoại tiếp APHQ
(I) và (J) cắt nhau tại P, Q Þ IJ là trung trực của PQ
Þ IJ ^ PQ
Tương tự OI ^ BC
 =  = = 90o Þ AD ^ PQ
Ta có AO // IJ và AJ // OI Þ Tứ giác HJOI là hình bình hành
Þ AJ = OI. Nên JH = OI
Tứ giác HJOI là hình bình hành
ÞIH//OJ Mà OJ^AK.
DođóIH^AK
Tacó:IH^AM,DK^AM,HK^AM
Vậy I, H, K thẳng hàng.
|
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
|
|
5
(1 điểm)
|
Ta đặt sáu số a1,a2,a3,a4,a5,a6 vào 6 đỉnh của lục giác đó
do 6 số này là 6 số chẵn liên tiếp xếp theo chiều kim đồng hồ nên a1,a2 là 2 số chẵn liên tiếp ;a3,a4 là 2 số chẵn liên tiếp a5,a6 là 2 số chẵn liên tiếp vậy ( a2- a1) +( a4 – a3) + (a6 –a5) =6
Do mỗi lần ta cộng với 1 cạnh cùng một số nguyên lên hiệu của 2 số ở hai đỉnh đó luôn bằng 2.
Do đó ,sau các lần đổi ta không thể có 2 số nào kề nhau có hiệu bằng không, tức là không tồn tại 6 số ở đỉnh lục giác đều bằng nhau
|
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
|
|
|
|
|
-----------Hết-----------
Ghi chú:
- Hướng dẫn chỉ trình bày một trong các cách giải. Mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa theo từng câu, từng bài.
- Đáp án có chỗ còn trình bày tóm tắt, biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết cho từng bước lập luận, biến đổi. Tổ giám khảo cần thảo luận thống nhất trước khi chấm.
- Điểm toàn bài không làm tròn số
|
BGH
|
Tổ chuyên môn
|
Người ra đề
Trịnh Hồng Hạnh
|